Применение метода RADR для рискованных оттоков денежных средств

Введение

В научных экономических журналах на протяжении полувека продолжается дискуссия по вопросу корректировки ставки дисконтирования при оценке методом NPV «нетипичных» (смешанных) и заемных проектов в условиях риска и неопределенности¹. Согласно компромиссу риск/доходность (risk/return tradeoff), чем выше риск проекта, тем большую доходность требует инвестор, чтобы компенсировать его. Разумно дисконтировать отрицательные денежные потоки инвестиционного проекта по более низкой ставке, если они более предсказуемы и стабильны, но только не потому, что они отрицательные [2]. Поэтому одни ученые считают, что для отрицательных и положительных потоков с одним уровнем риска ставка дисконтирования должна быть одинаковой, обосновывая свою точку зрения определенными доводами. Единая ставка дисконтирования необходима для исключения арбитража [3, 4]; в случае разных ставок NPV теряет свойство аддитивности: стоимость проекта не равна сумме стоимостей его частей [5, 6]; страхующее действие отрицательных потоков на портфель [7, 8]. С ростом уровня риска отрицательная премия может приблизить RADR к значению -1, в результате чего приведенная стоимость отрицательных потоков может стать неограниченной [9].

Однако, дисконтирование затрат проекта по более высокой ставке наоборот приводит к росту NPV проекта. Выходит, что более рисковый «нетипичный» проект воспринимается ценнее такого же проекта с меньшими рисками и противоречит гипотезе об инвесторе, избегающем риска. Поэтому экономисты другой точки зрения полагают, что премии за риск для противоположных по знаку денежных потоков должны быть разными, и поддерживают уменьшение RADR ниже безрисковой ставки при оценке случайных отрицательных потоков [1, 10–16]. Различие в ставках для дисконтирования денежных потоков разного знака обосновывают иной природой происхождения и, следовательно, другими рисками отрицательных потоков, отрицательной корреляцией оттоков с рыночным курсом, разным подходом к выявлению риска: уменьшение ожидаемой выгоды или увеличение ожидаемых затрат [17, 18]. Актуарии, например, требуют большую премию сегодня, чтобы оплатить более неопределенные инциденты в будущем, поэтому сильнее снижают ставку для оценки текущей стоимости будущих более неопределенных платежей [19].

Со временем проблема оценки отрицательных потоков методом RADR перешла из вялого обсуждения в простое замалчивание. Вследствие чего финансовая литература сегодня содержит противоречивые рекомендации по корректировке ставки дисконтирования для неопределенных отрицательных денежных потоков. Менеджеры не имеют четкого руководства, когда использовать положительную, а когда отрицательную премию за риск, а также, каким образом определить правильную величину премии за риск. Диаметрально противоположные позиции изложены в утвержденных учебниках и используются для обучения управленцев [20].

Между тем, данная проблема не уникальна, и возникает по тем же причинам, как и широко известная в теории инвестиций, «проблема IRR» (несколько значений или отсутствие IRR в случае нетипичных денежных потоков). Причиной этих проблем является единая ставка дисконтирования, применяемая в методе NPV к денежным потокам разного знака. «Проблема IRR», как известно, решена. Недавно был предложен метод Обобщенной чистой приведенной стоимости (Generalized Net Present Value, GNPV), который использует две разные ставки для дисконтирования инвестиций и займов, составляющих нетипичный проект [21, 22]. По финансовой ставке деньги привлекаются для финансирования проекта, и вкладываются под ставку реинвестирования. Эти ставки отличаются так же, как желания инвестора и заемщика. Первый хочет получить большую доходность на вложенные средства, второй – занять деньги под меньший процент. «When we lend money, we want a high rate of return; when we borrow money, we want a low rate of return» [23]². Метод GNPV по определению предполагает при корректировке на риск увеличение финансовой ставки и уменьшение ставки реинвестирования. Благодаря применению метода GNPV устраняется противоречие между RADR и CAPM при оценке случайных отрицательных денежных потоков.

Цель данной статьи – предложить подход, обосновывающий применение разных ставок для оценки инвестиций и займов, составляющих нетипичный проект. Показать, что в условиях неопределенности эти ставки корректируются на риск разнонаправлено. Согласовать до сих пор существующие в учебниках, противоречивые рекомендации по корректировке на риск ставки дисконтирования для отрицательных денежных потоков.

Статья организована следующим образом. В первом разделе формулируется проблема корректировки на риск ставки дисконтирования для нетипичных проектов и дается краткий обзор посвященных ей исследований. Во второй части предлагается решение проблемы оценки нетипичных проектов на основе недавно предложенного подхода – метода GNPV. Приводится краткое описание метода и обсуждается, как должна корректироваться на риск ставка дисконтирования для инвестиции и займа в случае неопределенности. Заключение дает краткий обзор статьи и подводит итог.

Постановка проблемы

Начнем с того, что введем читателя в курс проблемы корректировки RADR для оценки отрицательных потоков. Уильям Бидлз [24] одним один из первых обратил внимание на противоречие, связанное с ростом NPV нетипичного проекта при увеличении ставки дисконтирования с целью учета больших проектных рисков. Он рассмотрел нетипичный (смешанный) проект со следующими денежными потоками: -$5000; + $11500; и -$6600 в периоды 0, 1 и 2 соответственно. Этот проект имеет два значения IRR 10% и 20%. Для простоты пояснения предположим, что в периоды 0 и 1 денежные потоки точно определены, а в период 2 ожидаемое значение потока может быть -$6200 или -$7000 с вероятностью 50/50. Согласно методике оценки, неопределенные потоки проекта должны дисконтироваться по ставке, скорректированной на риск. Если эта ставка равна 9%, то проект будет иметь NPV = -$4,63. Бидлз рассуждает: «Предположим, у похожего проекта случайное распределение величины потока в период 2 имеет большую дисперсию, а, следовательно, и риск. Допустим, что ожидаемое значение третьего потока -$6600 является средним от двух возможностей -$5200 и -$8000, происходящих с вероятностью 50/50. Если этот поток дисконтировать по повышенной ставке, скажем, 11%, то NPV проекта станет +$3,65. Результат кажется парадоксальным, поскольку стоимость проекта не должна увеличиваться с ростом риска».

Следует отметить, что сам Бидлз не увидел ничего странного в таком парадоксальном результате. Функция NPV проекта возрастает на интервале (0%; 15%) и имеет максимум при ставке дисконтирования 15%. Он заключил, что метод RADR не следует использовать для оценки нетипичных проектов и предложил в этом случае применять метод надежного эквивалента (Certainly Equivalent, CE).

Метод надежного эквивалента является альтернативой RADR. Согласно CE ожидаемые денежные потоки сначала корректируются до надежного эквивалента (без риска), а затем дисконтируются по безрисковой ставке. И хотя метод CE признается экономистами как теоретически более правильный, чем RADR, последний чаще используется большинством компаний [25, 26].

В случае неопределенных денежных потоков проекта для компенсации проектного риска логика корректировки RADR требует, чтобы NPV проекта уменьшался при изменении ставки дисконтирования. Поэтому, ставка дисконтирования должна увеличиваться для притоков и уменьшаться для оттоков. Этой точки зрения придерживаются многие экономисты [10–18]. Однако это противоречит концепции компромисса между риском и доходностью (risk/return tradeoff): больший риск требует большей доходности. Для снятия данного противоречия было предложено рассматривать большие отрицательные потоки в конце проекта как не операционные, т.е. не связанные с проектом, поэтому имеющие другую природу и другие риски [16]. Но идея рассматривать большие отрицательные потоки, как не связанные с проектом, не совсем корректна. Например, атомная электростанция должна быть закрыта после прекращения выработки энергии. Компания знает, что затраты на ликвидацию АЭС и дезактивацию земельного участка от радиоактивного материала будут высокими, но точная стоимость не определена и зависит от многих факторов. Поэтому затраты на рекультивацию являются также проектными, и с рисками не меньшей степени [9]. Некоторые экономисты отмечали, что знак корректировки ставки дисконтирования относительно безрисковой ставки для экологического риска зависит от того, как рассматривается стоимость страхования последствий риска: как уменьшение ожидаемых чистых выгод или увеличение ожидаемых затрат [17, 18]. Актуарии, например, требуют большую премию сегодня, чтобы оплатить более неопределенные инциденты в будущем, поэтому сильнее снижают ставку для оценки текущей стоимости будущих более неопределенных платежей [19]. Из выше сказанного напрашивается вывод: чтобы корректироваться по-разному, ставки дисконтирования для положительных и отрицательных потоков должны быть разными.

Недавно появившиеся статьи [21, 22] показали, что для адекватной оценки нетипичных проектов следует использовать метод обобщенной приведенной стоимости (GNPV), который в отличие от метода NPV использует две разные ставки для инвестиций и займов, составляющих нетипичные проекты. Средства привлекаются по финансовой ставке, но вкладываются под ставку реинвестирования. Метод GNPV по определению предполагает увеличение финансовой ставки и уменьшение ставки реинвестирования при настройке на риск.

Метод GNPV и оценка займа

Из логики учета возможных проектных рисков в условиях будущей неопределенности следует, что для корректной оценки отрицательных потоков необходимо либо уменьшать ставку дисконтирования относительно значения безрисковой ставки в методе RADR, либо увеличивать отток в методе надежного эквивалента (CE). Другими словами оба подхода предлагают путь, противоположный правилу, вытекающему из концепции компромисса между риском и доходностью для положительных потоков. Почему? Ответ аналогичен ответу на вопрос, почему правило IRR меняет знак при оценке заемных проектов?

Брейли и Майерс, авторы знаменитой книги «Принципы корпоративных финансов» [23], обращают внимание на ловушки метода IRR, в которые часто попадают аналитики. Рассмотрим два проекта, представленные в таблице 1.

Таблица 1 Инвестиция и заем

Оба проекта имеют IRR = 50%. Пусть ставка дисконтирования равна d, тогда согласно правилу NPV проект следует принять, если NPV(d) > 0, независимо от типа проекта (инвестиция или заем). Решением этого неравенства является правило IRR, которое в случае инвестиции есть d < IRR, а в случае займа d > IRR.

Метод NPV не отличает инвестицию от займа. Поэтому, если не знать тип проекта, можно попасть в ловушку, применяя правило IRR для займа как для инвестиции. Метод NPV использует одну ставку дисконтирования, называемую альтернативными издержками капитала (opportunity cost of capital) [23], она одновременно является и требуемой нормой прибыли для инвестиций с аналогичным уровнем риска (rate of return) и стоимостью капитала, используемого для финансирования инвестиций (cost of capital). В результате, это совмещение создает проблемы при оценке нетипичных проектов.

Недавно был предложен метод обобщенной чистой приведенной стоимости GNPV [22, 27]. Функция GNPV (r, p) является обобщением функции NPV(r) за счет использования вместо одной две ставки дисконтирования: финансовую и реинвестирования. Функция GNPV (r, p) вычисляется методом обратного счета (rollback method):

   (1)

где CF_i – денежный поток в i-й период, PV_i – приведенная стоимость денежных потоков к i-ому периоду, r - финансовая ставка, p – ставка реинвестирования.

Метод GNPV в отличие от метода NPV дисконтирует не отдельные денежные потоки, а их приведенные стоимости PV_i, используя разные ставки в зависимости от знака PV, который определяет тип проекта. Положительная приведенная стоимость в периоде i соответствует инвестиции и дисконтируется по финансовой ставке (капитал привлекается в проект). Отрицательная приведенная стоимость соответствует займу и дисконтируется по ставке реинвестирования (свободные средства проекта реинвестируются).

Воспользуемся методом GNPV для оценки проектов из таблицы 1. В случае инвестиции последний денежный поток положительный, поэтому дисконтируем его к предыдущему периоду по финансовой ставке r. Функция GNPV (r, p) определяется как:

GNPV(r, p) = -1000 + 1500 / (1 + r)    (2)

При r < GIRR=50% функция GNPV(r) положительна. Ставка GIRR является ставкой доходности или просто доходностью проекта в традиционном понимании для инвестора, а именно: максимальной ставкой процентов по кредиту, взятому для финансирования всех затрат проекта, дохода которого достаточно ровно на возврат кредита и уплату процентов по нему. Правило GIRR можно трактовать так: проект следует принять, если его ставка доходности превышает затраты на финансирование, т.е. GIRR > r.

В условиях неопределенности будущий доход заранее неизвестен, при этом риском для инвестора является получить доходность ниже финансовой ставки (GIRR < r). Поэтому для исключения из портфеля рискованных инвестиций, их следует оценивать при увеличенной ставке дисконтирования r.

В случае оценки заемного проекта последний денежный поток отрицательный, поэтому он дисконтируется к предыдущему периоду по ставке реинвестирования p.

GNPV(r, p) = 1000 - 1500 / (1 + p)    (2)

При p > GERR=50% функция GNPV(p) положительна. Ставка GERR является процентной ставкой займа и равна минимальной ставке доходности (ставке реинвестирования) проекта, в который можно инвестировать заемные средства, и при этом полученного дохода должно быть достаточно для погашения займа и процентов. Правило GERR трактуется таким образом: заем следует принять для финансирования другого проекта, если процентная ставка займа (GERR) ниже ставки доходности этого проекта или ставки реинвестирования, т.е. GERR < p.

В условиях неопределенности будущий отток неизвестен, поэтому риском для заемщика является превышение процентной ставкой займа ставки реинвестирования (GERR>p). Для исключения из портфеля дорогих рискованных займов, их следует оценивать при уменьшенной ставке дисконтирования, которой в данном случае является ставка реинвестирования p.

Оценка проектов в условиях неопределенности

Итак, выше мы показали, что ставки дисконтирования положительных и отрицательных приведенных стоимостей различны по своей природе. В первом случае – это стоимость привлечения средств, во втором – доходность размещения средств. Эти ставки должны быть доступны инвестору на рынке капитала. Покажем теперь, как применять технологию RADR для оценки рассмотренных выше проектов (инвестиции и займа) в случае, когда будущий поток CF₂ точно не определен. Сначала рассмотрим инвестиционный проект.

Пусть первый денежный поток точно известен и равен CF₁ = –$1000, а второй денежный поток является случайной величиной, распределенной нормально, со средним значением <CF₂> = $1500 и среднеквадратичной ошибкой (СКО) σ = $100.

Из теории вероятности известно [28], если некоторая случайная величина x, нормально распределенная, имеет среднее значение M и среднеквадратичное отклонение ?, то вероятность попадания ее в интервал x < y задается интегралом вероятностей F(x):

    (4)

Примем для определенности, что событием с неблагоприятным исходом будет получение дохода меньше $1200. Тогда интеграл вероятностей равен:

Это означает, что вероятность получить доход ниже $1200 меньше 0,14%, т.е. на десять тысяч случаев выпадет 14 неблагоприятных исходов. Для того чтобы исключить все нежелательные исходы с определенной вероятностью следует решать обратную задачу: сначала задать вероятность неблагоприятного исхода и затем определить минимальный доход, все потоки ниже которого относятся к нежелательным событиям. Возьмем, например, вероятность 5%, тогда минимально приемлемый доход равен:

Предположим, что этот минимальный доход является надежным эквивалентом дохода. Не важно, что этот «надежный эквивалент» не совсем надежный, только с вероятностью 95%. Для того, чтобы принять решение выбрать этот или другой проект, мы должны сравнить его с альтернативными предложениями, доступными на рынке. Допустим, что имеется возможность инвестировать $1000 в государственные облигации под 30% на год. Используем ставку 30% для дисконтирования «надежного эквивалента» $1335,5. Эта ставка является доходностью инвестиций без риска, а, следовательно, равна максимальной финансовой ставке, под которую можно занять средства согласно методу GNPV. Поэтому безрисковая финансовая ставка будет r_f = 30%, и приведенная стоимость «надежного эквивалента» при ставке 30% равна:

PV = $1335,5/1,3 = $1027,3.

Методы надежного эквивалента и RADR должны приводить к одинаковому значению приведенной стоимости будущего рискованного дохода [23]. Определим финансовую ставку, скорректированную на риск r_RADR, из условия, что она дает такое же значение приведенной стоимости для среднего значения случайного дохода $1500. Эта ставка равна 46%.

PV = $1500 / (1+ r_RADR) = $1027,3 --> r_RADR = 1500 / 1027,3 – 1= 46%.

Если второй денежный поток является более рискованным, например, σ = $200, тогда минимальная величина притока, ограничивающая появление неблагоприятных исходов с вероятностью не выше 5%, равна $1171.

Приведенная стоимость этого притока при ставке r_f = 30% равна $900,8. Следовательно, имеем: r_RADR = $1500/$900,8 – 1 = 66,5%.

Как видим, финансовая ставка, скорректированная на риск r_RADR, растет с увеличением уровня риска, что согласуется с теорией.

Теперь рассмотрим заем. Первый поток также определен и равен $1000, второй, в данном случае, отток является случайной величиной со средним значением –$1500 и СКО σ = $100. Пусть к неблагоприятным событиям относятся все оттоки меньше некоторого значения (по абсолютной величине выше). Как и прежде, зададим вероятность нежелательных исходов уровнем 5%. Найдем этот минимально допустимый отток, используя формулу интеграла вероятностей.

Примем этот минимально допустимый отток за надежный эквивалент и дисконтируем его по безрисковой ставке, под которую можно привлечь средства на денежном рынке. Согласно методу GNPV эта безрисковая процентная ставка является минимальной ставкой реинвестирования. Пусть p_f = 30%³, тогда имеем:

PV = –$1664,5/1,3 = –$1280,4.

Определим теперь ставку реинвестирования, скорректированную с учетом риска p_RADR, которая приводит к такому же значению приведенной стоимости для неопределенного среднего ожидаемого оттока –$1500. Ставка p_RADR равна 17,2%.

PV = –$1500/(1+ p_RADR) = –$1280,4 --> p_RADR = (–$1500)/(–$1280,4) – 1 = 17,2%.

Когда второй денежный поток более рискованный (σ = $200), минимально допустимая величина оттока, гарантирующая вероятность неблагоприятного исхода не выше 5%, равна –$1829. Приведенная стоимость при ставке дисконтирования 30% равна –$1406,9. Следовательно, имеем: p_RADR = (–$1500)/(–$1406,9) – 1= 6,6%.

Таким образом, скорректированная на риск ставка дисконтирования для отрицательных потоков p_RADR уменьшается относительно безрисковой ставки. И чем выше риск, тем больше снижение.

В таблице 2 представлены ставки r_RADR и p_RADR для инвестиции и займа в зависимости от уровня риска.

Таблица 2: Ставки дисконтирования и премия за риск в зависимости от уровня риска

Как видно из таблицы, модуль премии за риск для финансовой ставки rRADR больше, чем для ставки реинвестирования pRADR при одинаковом уровне риска (мера риска - дисперсия функции распределения величин) положительных и отрицательных потоков. Это различие является следствием отрицательного значения интеграла вероятностей F(x) < 0 при x < 0.

Поэтому премии за риск, корректирующие ставки дисконтирования оттоков и притоков с одним и тем же уровнем риска отличаются не только знаком, но и величиной. Следовательно, нельзя использовать одну и ту же премию из CAPM для расчета RADR при оценке рисковых доходов и расходов.

Оценим оба займа, используя RADR.

Поскольку NPV второго варианта меньше, то первый вариант предпочтительней, но оба варианта не приемлемы, поскольку NPV в обоих случаях отрицательный.

Заключение

В экономической литературе давно идут значительные дебаты в отношении вопроса, как корректировать ставку дисконтирования NPV для оценки «нетипичных» (смешанных) проектов в условиях риска и неопределенности. Одни ученые полагают, что доходы и затраты проекта с равным уровнем риска должны дисконтироваться по одинаковой ставке, как предписывает соотношение риск/доходность. Другие считают, что премия за риск для положительных и отрицательных потоков должна быть разной по причине иной природы происхождения отрицательных потоков или отрицательной корреляции оттоков с рыночным курсом. Проблема остается нерешенной до настоящего времени. Вследствие чего финансовая литература содержит противоречивые рекомендации по корректировке ставки дисконтирования для неопределенных отрицательных денежных потоков. Менеджеры не имеют четкого руководства, когда использовать положительную, а когда отрицательную премию за риск, а также, каким образом определить правильную величину премии за риск.

Противоречие между логикой и теорией изменения RADR для отрицательных потоков возникают вследствие несовершенства метода NPV, применение которого для оценки нетипичных проектов не всегда бывает корректно. Метод NPV использует одну ставку дисконтирования (альтернативные издержки капитала) для оценки инвестиций и займов, образующих нетипичный проект. Эта ставка одновременно является и требуемой доходностью для инвестиций с аналогичным уровнем риска и стоимостью капитала, используемого для финансирования инвестиций. Однако, как известно, правило IRR имеет разный знак при оценке инвестиций и займов, поэтому при оценке нетипичных проектов возникают проблемы, связанные с установлением адекватности IRR как доходности. Ставки дисконтирования должны различаться. Мы применили для оценки стохастических нетипичных проектов метод GNPV, который в отличие от метода NPV использует две ставки и тем самым различает инвестиционную и заемную части проекта. Для оценки инвестиций используется финансовая ставка, которую следует увеличивать с ростом риска, чтобы не принимать высоко рисковые низкодоходные проекты. Для оценки займов используется ставка реинвестирования, которую с ростом риска следует снижать, чтобы отклонить дорогое финансирование. Предложенный подход, позволяет согласовать противоречивые рекомендации по корректировке на риск ставки дисконтирования для отрицательных денежных потоков, до сих пор существующие в учебниках. Он также может быть полезным при разработке расширения CAPM или других альтернативных моделей на активы с отрицательной позицией (формула штрафа за риск).

Литература

1. Черемушкин, С. (2009) Отрицательные денежные потоки и премия. // Финансы и Кредит. Том 15, № 28, стр. 36–51.

2. Damodaran, A. (2008). Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management. // Wharton School Publishing.

3. Miles, J. and Choi, D. (1979) Comment: Evaluating Negative Benefits. // Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 14, No. 5, pp. 1095–1099.

4. Ariel, R. (1998) Risk adjusted discount rates and the present value of risky costs. // The Financial Review. Vol. 33, pp. 17–30.

5. Berry, R. and Dyson, R. (1980) On the Negative Risk Premium for Risk Adjusted Discount Rates. // Journal of Business Finance and Accounting. Vol. 7, No. 3, pp. 427–436.

6. Berry, R. and Dyson, R. (1983) On the Negative Risk Premium for Risk Adjusted Discount Rates: A Replay. // Journal of Business Finance and Accounting. Vol. 10, No. 1, pp. 157–159.

7. Lewellen, W. (1977) Some Observations on Risk-Adjusted Discount Rates. // Journal of Finance. Vol. 32, No. 4, pp. 1331–1337.

8. Lewellen, W. (1979) Some Observations on Risk-Adjusted Discount Rates: Reply. // Journal of Finance. Vol. 34, No. 4, pp. 1065–1066.

9. Gallagher, T. and Zumwalt, J. (1991) Risk-Adjusted Discount Rates Revisited. // The Financial Review. Vol. 26, No. 1, pp. 105–114.

10. Celec, S. and Pettway, R. (1975) Thrust and Parry. // Financial Management. Vol. 4, No. 1, pp. 7–11.

11. Celec, S. and Pettway, R. (1979) Some Observations on Risk-Adjusted Discount Rates: A Comment. // Journal of Finance. Vol. 34, No. 4, pp.1061–1063.

12. Everett J. and Schwab, B. (1979) On the Proper Adjustment for Risk through Discount Rates in a Mean-Variance Framework. // Financial Management. Vol. 8, No. 2, pp. 61–65.

13. Booth, L. (1982) Correct Procedures for the Evaluation of Risky Cash Outflows. // Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 17, No. 2, pp. 287– 299.

14. Brigham, E. and Gapenski, L. (1987) Intermediate Financial Management. Hinsdale, IL: Dryden.

15. Copeland, T., and Weston, J. (1988) Financial Theory and Corporate Policy. New York: Addison-Wesley.

16. Ehrhardt, M. and Daves, P. (2000) Capital Budgeting: The Valuation of Unusual, Irregular, or Extraordinary Cash Flows. // Financial Practice and Education. Vol. 10, No. 2, pp. 106–114.

17. Brown, S. (1983) A Note on Environmental Risk and the Rate of Discount. // Journal of Environmental Economics and Management. Vol. 10, No. 3, pp. 282–286.

18. Prince, R. (1985) A Note on Environmental Risk and the Rate of Discount: Comment. // Journal of Environmental Economics and Management. Vol. 12, No. 2, pp. 179–180.

19. Heaton, H. (2005) On Valuing Negative Cash Flows Related to Contamination, Asset Removal, or Functional Obsolescence. // Journal of Property Tax Assessment and Administration. Vol. 2, No. 4, pp. 33–41.

20. Gallagher, T., Miao, H., Ryan, P. (2017) Implied Risk Adjusted Discount Rates and Certainty Equivalence in Capital Budgeting. Global Journal of Accounting and Finance. Vol. 1, No. 2, pp. 25–30.

21. Кулакова, А. (2010) Оценка эффективности «нетипичных» инвестиционных проектов // Аудит и финансовый анализ. № 5, стр. 247–252.

22. Kulakov, N. and Kulakova A. (2013) Evaluation of nonconventional projects. // The Engineering Economist. Vol. 58, No.2, pp. 137–148.

23. Брейли Р., Майерс С. (2008) Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-Бизнес.

24. Beedles, W. (1978) Evaluating Negative Benefits. // Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 13, No. 1, pp. 173–176. doi:10.2307/2330532

25. Gitman, L. and Zutter, C. (2015) Principles of Managerial Finance. 13th edition. HarperCollins.

26. Keown, A., Martin, J. and Petty, J. (2016) Foundations of Finance, 10th Edition, Prentice Hall.

27. Бласет Кастро, А., Кулаков, Н. (2017). Альтернативные методы оценки нетипичных инвестиционных проектов. // Journal of Corporate Finance Research // Корпоративные Финансы | ISSN: 2073-0438, 11(1), 111-128.

28. Корн, Г., Корн, Т. (1984) Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.

¹ С обзором дискуссии можно ознакомиться в статье Черемушкина «Отрицательные денежные потоки и премия»[1].

² «Когда мы даем деньги взаймы, то хотим высокой доходности; когда мы берем деньги взаймы, мы хотим низкой ставки процента».

³ Мы предполагаем, что безрисковые ставки привлечения и размещения капитала равны. Хотя в реальности это не так, но на ход рассуждений не влияет.

Версия для печати